Question

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B、D重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．（1）求AO的长；（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：∠ACM=30°；（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请画出图形，并直接写出△AFM的周长

Answer 1

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=

1

2

BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=

AB2?OB2

=

132?122

=5．

（2）证明：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中，∠ACM=180°-90°-60°=30°．

（3）解：如图3，连接EM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（1）知△AFM为等边三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，

AE＝AB ∠EAM＝∠BAF AM＝AF

，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO
∴

1

2

BF?AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4，
AF=

AO2+FO2

=

52+42

=

41

，
∴△AFM的周长为3

41

．