Question

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1（2）求直线EF

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1（2）求直线EF与平面B1FC所成角的正弦值．

Answer 1

解答：解：（1）证明：（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
连接AD₁，BD₁，BC₁，则ABC₁D₁为平行四边形，
∵E，F分别为DD₁、DB的中点，
∴EF∥BD₁，
∵BD₁?平面ABC₁D₁，EF?平面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁．
（2）连接AB₁，AF，
则CF⊥平面BB₁D₁D，
∴CF⊥BD₁，
∵BD⊥CB₁，
∴BD₁⊥平面AB₁C，
∵EF∥BD₁，
∴EF⊥平面AB₁C，
即直线EF与平面B₁FC所成的角为90°，
即直线EF与平面B₁FC所成角的正弦值为sin90°=1．