设f(x)=∫(0,x)sint/(π-t)dt,求∫(0,π)f(x)dx
结果为:2
解题过程如下:
原式=f'(x) = sinx/(π - x)
=∫(0~π) f(x) dx
= xf(x) - ∫(0~π) xf(x)' dx、
= πf(π) - ∫(0~π) x · sinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) (πsinx - xsinx)/(π - x) dx
= ∫(0~π) (π - x)sinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) sinx dx
= - (- 1 - 1)
= 2
扩展资料
求函数积分的方法:
设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的实函数f(x),在区间[a,b]上的定积分。
若f(x)在[a,b]上恒为正,可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上,由曲线(x,f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。
积分公式:
答案为2。
解题过程如下:
记f'(x) = sinx/(π - x)
∫(0~π) f(x) dx
= xf(x) - ∫(0~π) xf(x)' dx、
= πf(π) - ∫(0~π) x · sinx/(π - x) dx
= π∫(0~π) sint/(π - t) dt - ∫(0~π) xsinx/(π - x) dx
= π∫(0~π) sinx/(π - x) dx - ∫(0~π) xsinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) (πsinx - xsinx)/(π - x) dx
= ∫(0~π) (π - x)sinx/(π - x) dx
= ∫(0~π) sinx dx
= - cosx |_(0~π)
= - (- 1 - 1)
= 2
扩展资料
常用积分公式:
1)∫0dx=c
2)∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3)∫1/xdx=ln|x|+c
4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c