Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点， 交DC的延长线于E，交⊙O于点F，

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点， 交DC的延长线于E，交⊙O于点F，且 = （1）试判断DE与⊙O的位置关系并加以证明； （2）若 ，AE=4，求∠BCD的正切值。

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Answer 1

（1）DE是⊙O的切线           证明：连结OC（如图）

=     ∴∠1=∠2 ⊙O是△ABC的外接圆 ∴点C在圆上 ，即 ∴DE是⊙O的切线 （2）解：在△AED中，由（1）知OC//AE                                设OC=t                                                  整理，得                 解得                 经检验t1，t2均为原方程的解，由于线段长为非负，故舍去负值。                 得                                  ∵DC切⊙O于点C，DBA是⊙O的割线                                                      是公共角                                                                由已知AB是⊙O的直径