Question

已知函数f（x）=ax+ b x +c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（I）用a表

已知函数f（x）=ax+ b x +c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．（I）用a表示出b，c；（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

y（Ⅰ） f′(x)=a- b x 2 ， 则有 f(l)=a+b+c=0 f′(l)=a-b=1 ， 解得 b=a-1 c=l-2a （Ⅱ）由（Ⅰ）知， f(x)=ax+ a-1 x +1-2a ， 令g（x）=f（x）-lnx=ax+ a-1 x +1-2a-lnx，x∈[1，+∞） 则g（l）=0， g′(x)=a- a-1 x 2 - 1 x = a x 2 -x-(a-1) x 2 = a(x-1)(x- 1-a a ) x 2 （i）当 o＜a＜ 1 2 ， 1-a a ＞1 若 1＜x＜ 1-a a ，则g′（x）＜0，g（x）是减函数， 所以g（x）＜g（l）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立． （ii） a≥ 1 2 时， 1-a a ≤l 若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx 综上所述，所求a的取值范围为 [ 1 2 ，+∞)