Question

已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的′O交BC于G，交AB于点F，F

已知如图，△ABC中AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的′O交BC于G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径． （1）求证：AE与⊙O相切； （2）当BC=6，cosC= ，求⊙O的直径．





Answer 1

（1）证明：连接OM． ∵OB=OM， ∴∠1=∠3， 又BM平分∠ABC交AE于点M， ∴∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴OM∥BE． ∵AB=AC，AE是角平分线， ∴AE⊥BC， ∴OM⊥AE， ∴AE与⊙O相切； （2）解：设圆的半径是r． ∵AB=AC，AE是角平分线， ∴BE=CE=3，∠ABC=∠C， 又cosC= ， ∴AB=BE÷cosB=12，则OA=12﹣r． ∵OM∥BE， ∴ ，即 ，解得r=2.4．则圆的直径是4.8．