Question

如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC

如图，在平行四边形中，E、F分别是AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，下列结论：①BE=DF；②AG=GH=HC；③EG=12DH；④S△ABE=3S△AGE．其中正确的结论有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解：如右图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，BE=DF，选项①正确；
∵E、F是AD、BC中点，
∴DE=

1

2

AD，BF=

1

2

BC，
∴DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴∠AEG=∠ADH，∠AGE=∠AHD，
∴△AEG∽△ADH，又AE：AD=1：2，
∴AG：AH=1：2，即G为AH中点，
∴EG为△ADH的中位线，
∴EG=

1

2

DH，选项③正确；
同理H为CG的中点，HF也为△BCG的中位线，
∴AG=GH=CH，选项②正确；
又AD∥BC，
∴∠EAG=∠BCG，∠AEG=∠GBC，
∴△AEG∽△BCG，又AE：BC=1：2，
∴EG：GB=1：2，
∵△AEG和△AGB分别以EG和GB为底边时，高相同，
∴两三角形的面积之比也等于1：2，即2S_△ABG=S_△AGB，
∴S_△ABE=3S_△AGE，选项④正确，
则正确的结论有4个．
故选D