Question

已知函数f（x）=ex-m-ln（2x）．（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）

已知函数f（x）=ex-m-ln（2x）．（Ⅰ）设x=1是函数f（x）的极值点，求m的值并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明：f（x）＞-ln2．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-m-ln（2x），
∴f′（x）=e^x-m-

1

x

，
由x=1是函数f（x）的极值点得f′（1）=0，
即e^1-m-1=0，∴m=1．　　　       …（2分）
于是f（x）=e^x-1-ln（2x），f′（x）=e^x-1-

1

x

，
由f″（x）=e^x-1+

1

x2

＞0知 f′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且f′（1）=0，
∴x=1是f′（x）=0的唯一零点．          …（4分）
因此，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴函数f（x） 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．  …（6分）
（Ⅱ）证明：当m≤2，x∈（0，+∞）时，e^x-m≥e^x-2，
又e^x≥x+1，∴e^x-m≥e^x-2≥x-1．　   …（8分）
取函数h（x）=x-1-ln（2x）（x＞0），h′（x）=1-

1

x

，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，得函数h（x）在x=1时取唯一的极小值即最小值为h（1）=-ln2．　…（12分）
∴f（x）=e^x-m-ln（2x）≥e^x-2-ln（2x）≥x-1-ln（2x）≥-ln2，
而上式三个不等号不能同时成立，故f（x）＞-ln2．…（14分）