Question

设Sn为数列{an}的前项和，且对任意n∈N*都有Sn=2（an-1），记f（n）=3n2nSn．（1）求an；（2）试比较f（n

设Sn为数列{an}的前项和，且对任意n∈N*都有Sn=2（an-1），记f（n）=3n2nSn．（1）求an；（2）试比较f（n+1）与34f（n）的大小；（3）证明：①f（k）+f（2n-k）≥2f（n），其中k≤n且k∈N*；②（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1）＜3．

Answer 1

（1）当 n=1时，S₁=a₁=2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴an＝2n．
（2）∵Sn＝

2(1?2n)

1?2

＝2n+1?2，
∴f(n+1)?

3

4

f(n)＝

3n+1

2n+1(2n+2?2)

?

3

4

3n

2n(2n+1?2)

＝

3n+1

2n+2

(

1

2n+1?1

?

1

2n+1?2

)＜0，
∴f(n+1)＜

3

4

f(n)．
（3）证明：①f(k)+f(2n?k)＝

3k

2k(2k+1?2)

+

32n?k

22n?k(22n?k+1?2)

≥2?(

3

2

)n?

1 (2k+1?2)(22n?k+1?2)

，
而(2k+1?2)(2 2n?k+1?2)＝22n+2+4?(2k+2+22n?k+2)≤22n+2+4?2

2k+2?22n?k+2

＝(2n+1?2)2，
∴f(k)+f(2n?k)≥2?(

3

2

)n?

1 (2k+1?2)(22n?k+1?2)

≥2(

3

2

)n?

1

2n+1?2

＝2f(n)．
②由①知，f（1）+f（2n-1）≥2f（n），f（2）+f（2n-2）≥2f（n），…，f（2n-1）+f（1）≥2f（n）；
相加得f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），当n=1时取等号；
∵f(n+1)＜

3

4

f(n)＜(

3

4

)2f(n?1)＜…＜(

3

4

)nf(1)和f(1)＝

3

4

，
∴f（1）+f（2）+…+f（2n-1）＜f(1)+

3

4

f(1)+(

3

4

)2f(1)＜…＜(

3

4

)2n?2f(1)=

3

4

?4?[1?(

3

4

)2n?1]＝3[1?(

3

4

)2n?1]＜3
原不等式成立．