Question

积分不等式证明

Answer 1

可以利用二重积分来证明。

设C表示如下区域：0<=x<=1，0<=y<=1

D所表示如下区域：x^2+y^2<=√2，x>=0, y>=0的1/4圆面。

很明显C真包含于D

∫(0->1)  e^(-x^2)dx

=∫(0->1)  e^(-y^2)dy

所以∫(0->1)  e^(-x^2)dx= [∫(0->1)  e^(-x^2)dx *∫(0->1)  e^(-y^2)dy]^(1/2)

=[∫(0->1)∫(0->1) e^[-(x^2+y^2)]dxdy]^(1/2)

=[∫∫C e^[-(x^2+y^2)]dxdy]^(1/2)

<=[∫∫D e^[-(x^2+y^2)]dxdy]^(1/2)

=[∫(0->π/2)dθ ∫(0-√2) e^(-r^2) rdr ]^(1/2)

=√[π(e^2-1)] / (2e)

<16/25

追问

没有计算器 怎么算出来那个答案小于16/25啊

追答

e用2.7估算，π用3.14估算，

用算量不大哦

追问

你要手动开根号啊？

追答

sorry，确实是证错了。
楼主的提示让我首先想到了二重积分。
其实不用这么麻烦的
直接用级数证明即可

证明：

因为e^x=1+x+x^2/2+...

所以
e^(-x^2)=1-x^2+(x^4/2)-x^6/3+....
1) e^(-x^2)dx
1) (1-x^2+(x^4/2))dx
=23/30
<4/5

追问

级数证明必须证明舍去的项的大小符号，不然证明是错的啊

Answer 2

原函数不是初等函数，积分积不出来，但是我们可以算第二项