如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E;(1)求证

如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E;(1)求证:BE=CE;(2)若以O、D、E、C为顶点的四边... 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E;(1)求证:BE=CE;(2)若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形,⊙O的半径为r,求△ABC的面积;(3)若EC=4,BD= 4 3 ,求⊙O的半径OC的长. 展开
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清河制赂0
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知道答主
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(1)证明:连接CD,由AC是直径知CD⊥AB;
DE、CE都是切线,所以DE=CE,∠EDC=∠ECD;
又∠B+∠ECD=90°,∠BDE+∠EDC=90°;
所以∠B=∠BDE,所以BE=DE,从而BE=CE;

(2)连接OD,


当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,DE=EC=OC=OD=r;
从而BE=r,即△ABC是一个等腰直角三角形;
AC=AB=2r,S △ABC =2r 2

(3)若EC=4,BD=4
3
,则BC=8;
在Rt△BDC中,cos∠CBD=
BD
BC
=
3
2
;所以∠CBD=30°;
在Rt△ABC中,
AC
BC
=tan30°,即AC=BCtan30°=8×
3
3
=
8
3
3
,OC=
AC
2
=
4
3
3

另设OC=r,AD=x;由EC=4,BD=4
3
得BC=8,DC=4;
则:
16+ x 2 =4 r 2
64+ 4r 2 = (4
3
+x)
2
,解得
x=
4
3
3
r=
4
3
3
;即OC=
4
3
3
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