Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E；（1）求证：BE=CE；（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，⊙O的半径为r，求△ABC的面积；（3）若EC=4，BD= 4 3 ，求⊙O的半径OC的长．

Answer 1

（1）证明：连接CD，由AC是直径知CD⊥AB； DE、CE都是切线，所以DE=CE，∠EDC=∠ECD； 又∠B+∠ECD=90°，∠BDE+∠EDC=90°； 所以∠B=∠BDE，所以BE=DE，从而BE=CE； （2）连接OD， 当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，DE=EC=OC=OD=r； 从而BE=r，即△ABC是一个等腰直角三角形； AC=AB=2r，S △ABC =2r 2 ； （3）若EC=4，BD=4 3 ，则BC=8； 在Rt△BDC中，cos∠CBD= BD BC = 3 2 ；所以∠CBD=30°； 在Rt△ABC中， AC BC =tan30°，即AC=BCtan30°=8× 3 3 = 8 3 3 ，OC= AC 2 = 4 3 3 ； 另设OC=r，AD=x；由EC=4，BD=4 3 得BC=8，DC=4； 则： 16+ x 2 =4 r 2 64+ 4r 2 = (4 3 +x) 2 ，解得 x= 4 3 3 r= 4 3 3 ；即OC= 4 3 3 ．