Question

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P

已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P使|PF2||PF1|=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是______．

Answer 1

∵

|PF2|

|PF1|

=

a

c

，∴P在双曲线右支，
设P点的横坐标为x_o，注意到x_o≥a．
由双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex_o，|PF₂|=ex_o-a，
则有

ex0?a

a+ex0

=

a

c

，得x_o=

a(a+c)

ec?ea

≥a，
分子分母同时除以a，得：

a+c

e2?e

≥a，
∴

1+e

e2?e

≥1，
解得1＜e≤

2

+1
故答案为：（1，

2

+1]．