Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。（

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB.E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D。（1）求证:AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1,BE=ED.求BD的长.

Answer 1

（1）证明：连结OD， ∵∠DOB=2∠DCB 又∵∠A=2∠DCB ∴∠A=∠DOB 又∵∠A+∠B=90° ∴∠DOB+∠B=90° ∴∠BDO=90° ∴OD⊥AB ∴AB是⊙O的切线 （2）解法一：过点O作OM⊥CD于点M ∵OD=OE=BE= BO ∠BDO=90° ∴∠B=30° ∴∠DOB=60° ∴∠DCB=30°OD=OC=2OM=2 ∴BO=4, ∴BD= （2）解法二：过点O作OM⊥CD于点M，连结DE, ∵OM⊥CD，∴CM=DM 又∵OC=OE∴DE=2OM=2 ∵Rt△BDO中，OE=BE ∴DE= BO∴BO=4， ∴OD=OE=2，∴ BD=

①                                                 ②