Question

已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a 2 +b 2 =6abcosC，且sin 2 C=2sinAsinB．（1）求

已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a 2 +b 2 =6abcosC，且sin 2 C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数 f(x)=sin(ωx- π 6 )-cosω x (ω＞0) ，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．

Answer 1

（1）∵sin 2 C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c 2 =2ab， 由余弦定理有：a 2 +b 2 =c 2 +2abcosC=c 2 （1+cosC）① 又a 2 +b 2 =6abcosC=3c 2 cosC② 由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC= 1 2 ， 又0＜C＜π，∴C= π 3 ； （2） f(x)=sin(ωx- π 6 )-cosω x    = 3 sin（ωx- π 3 ） ∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π， ∴T=π ∴ 2π ω =π ∴ω=2 ∴f（x）= 3 sin（2x- π 3 ） ∴f（A）= 3 sin（2A- π 3 ） ∵ π 6 ＜A＜ π 2 ，∴0＜2A- π 3 ＜ 2π 3 ∴0＜sin（2A- π 3 ）≤1 ∴0＜f（A）≤ 3 ．