Question

阅读下列材料：在公式（a+1）2=a2+2a+1中，当a分别取1、2、3、4、…n可得以下等式：（1+1）2=12+2×1+1；

阅读下列材料：在公式（a+1）2=a2+2a+1中，当a分别取1、2、3、4、…n可得以下等式：（1+1）2=12+2×1+1； （2+1）2=22+2×2+1； （3+1）2=32+2×3+1；（4+1）2=42+2×4+1；…（n+1）2=n2+2n+1（1）将这n个等式的左右两边分别相加，可以推导出求和公式：1+2+3+…+n=______（2）若（a+1）3=a3+3a2+3a+1，仿照上述方法，求12+22+32+…+n2．

Answer 1

（1）把已知的式子左右分别相加得：（1+1）²+（2+1）²+（3+1）²+…+（n+1）²=1²+2²+3²+…+n²+2（1+2+…+n）+n，
即2²+3²+4²+…+（n+1）²=1²+2²+3²+…+n²+2（1+2+…+n）+n，
则（n+1）²=1+2（1+2+3+…+n）+n，
即2（1+2+3+4+…+n）=n²+n
∴1+2+3+4+5+6+…+n=

n(n+1)

2

．
（2）在立方公式中，取b=1得（a+1）³-a³=3a²+3a+1，
依次取a=1，2，3，…，n-1，n得
2³-1=3×1²+3×1+1，3³-2³=3×2²+3×2+1，4³-3³=3×3²+3×3+1，…（n+1）³-n³=3×n²+3n+1，
将以上n个式子相加，得（n+1）³-1=3（1²+2²+3²+…+n²）+3（1+2+3+…+n）+n，
∴1²+2²+3²+…+n²=

(n+1)3?1?3(1+2+3+…+n)?n

3

=

n(n+1)(2n+1)

6

．