Question

如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．（1）求证：BE+DF=EF；（2）若BE=3，DF=2，求AB

如图正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．（1）求证：BE+DF=EF；（2）若BE=3，DF=2，求AB的长．

Answer 1

（1）证明：延长EB至H，使BH=DF，连接AH，
∵在正方形ABCD中，
∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，
在△ADF和△ABH中，
∵

AD＝AB ∠ADF＝∠ABH DF＝HB

∴△ADF≌△ABH（SAS），
∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，
∴∠FAH=90°，
∴∠EAF=∠EAH=45°，
在△FAE和△HAE中，
∵

AF＝AH ∠FAE＝∠EAH AE＝AE

∴△FAE≌△HAE（SAS），
∴EF=HE=BE+HB，
∴EF=BE+DF，

（2）解：∵EF=BE+DF，BE=3，DF=2，∴EF=5，
设AB=x，则CE=x-3，CF=x-2，
在△CEF中：FC²+EC²=EF²，
故（x-2）²+（ x-3）²=5²，
解得：x₁=-1（舍去），x₂=6，
∴AB=6．

Answer 2

（1）证明：延长EB至H，使BH=DF，连接AH，∵在正方形ABCD中，∴∠ADF=∠ABH，AD=AB，在△ADF和△ABH中，∵AD＝AB∠ADF＝∠ABHDF＝HB∴△ADF≌△ABH（SAS），∴∠BAH=∠DAF，AF=AH，∴∠FAH=90°，∴∠EAF=∠EAH=45°，在△FAE和△HAE中，∵AF＝AH∠FAE＝∠EAHAE＝AE∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF，（2）解：∵EF=BE+DF，BE=3，DF=2，∴EF=5，设AB=x，则CE=x-3，CF=x-2，在△CEF中：FC2+EC2=EF2，故（x-2）2+（ x-3）2=52，解得：x1=-1（舍去），x2=6，∴AB=6．