Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．（1）求证：四边形DEBF

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当AE的长为多少时，四边形DEBF是菱形？（3）在（2）的基础上，若点P是对角线AC上的一个动点，请在图中用直尺在边AC上作出点P，使得PB+PE的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴BE∥DF，
又∵BE=DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）设AE=x时四边形DEBF是菱形，则BE=4-x，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE=4-x，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²，
即2²+x²=（4-x）²，
解得x=

3

2

，
故，AE=

3

2

时，四边形DEBF是菱形；

（3）如图，过点E作AC的对称点E′，连接BE′，BE′与AC的交点即为所求的点P，
此时，PB+PE=BE′，
由勾股定理得，AC=

22+42

=2

5

，
EE′=2?AE?sin∠BAC=2×

3

2

×

2

2 5

=

3 5

5

，
过点E′作E′H⊥AB于H，
则EH=EE′sin∠AEE′=

3 5

5

×

4

2 5

=