Question

设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1-x

设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1-x2）；（2）f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个命题：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确命题的序号是（　　）A．①③B．②④C．②③④D．①③④

Answer 1

解答：解；对于①结论是正确的．
∵对任意实数x₁，x₂都有f（x₁）?f（x₂）+g（x₁）?g（x₂）=g（x₁-x₂）
且f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，
令x₁=x₂=1，得[f（1）]²+[g（1）]²=g（0），∴1+[g（1）]²=g（0），∴g（0）-1=[g（1）]²
令x₁=1，x₂=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g（0）-1]=0
解方程组

g(0)?1＝[g(1)]2 g(1)[g(0)?1]＝0

  得

g(1)＝0 g(0)＝1

 
对于②结论是不正确的，令x₁=0，x₂=-1，得f（0）f（-1）+g（0）g（-1）=g（1），∴g（-1）=0
令x₁=1，x₂=-1，得f（1）f（-1）+g（1）g（-1）=g（2），∴-1=g（2），∴g（2）≠1
对于③结论是正确的，令x₁=x₂=1，得f²（x）+g²（x）=g（0）=1，
对于④结论是正确的，由③可知f²（x）≤1，∴-1≤f（x）≤1，-1≤g（x）≤1
∴|fⁿ（x）|≤f²（x），|gⁿ（x）|≤g²（x）对n＞2，n∈N^*时恒成立，
[f（x）]ⁿ+[g（x）]ⁿ≤f²（x）+g²（x）=1
综上，①③④是正确的．
故选：D