Question

设函数f（x）=1?a2x2+ax-lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a≥2时，讨论函数f（x

设函数f（x）=1?a2x2+ax-lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a≥2时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意a∈（2，3）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有ma+ln2＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解答：解；（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
a=1时，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x?1

x

，
令f′（x）=0，得x=1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（1）=1，无极大值；
（Ⅱ）f′x）=（1-a）x+a-

1

x

=

(1?a)(x? 1 a?1 )(x?1)

x

，
当

1

a?1

=1，即a=2时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减；
当

1

a?1

＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a?1

，或x＞1，令f′（x）＞0，得

1

a?1

＜x＜1，
当

1

a?1

＞1，即a＜2时，矛盾舍，
综上，a=2时，f（x）在（0，+∞）递减，a＞2时，f（x）在（0，

1

a?1

）和（1，+∞）递减，在（

1

a?1

，1）递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得；a∈（2，3）时，f（x）在[1，2]上递减，
x=1时，f（x）最大，x=2时，f（x）最小，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（2）=

a

2

-

3

2

+ln2，
∴ma+ln2＞

a

2

-

3

2

+ln2．
a＞0时，经整理得m＞

1

2

-

3

2a

，
由2＜a＜3得；-

1

4

＜

1

2

-

3

2a

＜0，
∴m≥0．