Question

设α＞0，β＞0，讨论∫+∞0sinxβxαdx的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）

设α＞0，β＞0，讨论∫+∞0sinxβxαdx的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）．

Answer 1

∫

+∞ 0

sinxβ

xα

dx=

∫

1 0

sinxβ

xα

dx+

∫

+∞ 1

sinxβ

xα

dx=I₁+I₂．
对于I₁，由于当x→0时，

sinxβ

xα

～

1

xα-β

，
故当α-β＞1时，I₁发散；
当α-β≤1时，I₁收敛．
对于I₂，
令t=x^β，x＞0，则
I₂ =

∫

+∞ 1

sint

t α β

?

1

β

t

1

β

-1dt
=

∫

+∞ 1

sint

βt1+ α-1 β

dt．
因为|

sint

t1+ α-1 β

|≤

1

t1+ α-1 β

，
故当α＞1时，I₂绝对收敛；
因为对于任意A＞0，
|

∫

A 0

sintdt|=|1-cosA|≤2有界，
且当1+

α-1

β

＞0时，

1

t1+ α-1 β

单调减少趋于0，
因此当1+

α-1

β

＞0，即 α+β＞1时，I₂条件收敛；
而当1+

α-1

β

≤0时，
由于

lim

x→∞

sint

t1+ α-1 β

不存在，
故I₂发散．
综上，当α-β＞1且α＞1时，积分绝对收敛；
当α-β＞1且α+β＞1时，积分条件收敛，
在其他情况下，积分发散．