Question

求圆心在直线3x-y=0上,与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2倍根号7的圆的方程

拜托，尽量少点步骤和文字，但过程不要省，答案一定要标准。因为我不是很懂所以拜托，尽量不要用文字代替。

Answer 1

设圆心(t,3t)
因为 圆与x轴相切
所以 圆的半径r=|3t|
圆心到直线x-y=0的距离d=|t-3t|/(根号2)
因为 圆心到直线x-y=0的距离的平房又等于r^2-(根号7)^2
令d^2=r^2-(根号7)^2
解得t=1 或 t=-1
所以圆的方程为:
(x-1)^2+(y-3)^2=9 或 (x+1)^2+(y+3)^2=9

Answer 2

解：设圆为（x－a）^2+(y-b)^2=c^2
圆心在直线3x－y＝0上所以b＝3a
与x轴相切即与y＝0只有一个根联立
得(x-a)^2+(3a)^2-c^2=0
转化得x^2-2ax+(10a^2-c^2)=0
△＝4a^2-4(10a^2-c^2)=0
c^2=9a^2
圆方程（x-a） ^2+(y-3a)^2=9a^2
将上面的方程和直线y=x再次联立
化简可以得到2x^2-8ax+a^2=0
因为弦长等于2根号7
所以上面的方程一定有2个根设为x1 x2
可以得到（x1－x2）^2+(y1-y2)^2=(2根号7)^2
这里y1＝x1 y2＝x2 就不用解释了继续化简
（x1＋x2）^2-4x1x2=0
由韦达定理带入可以求出a^2=1所以a＝±1
所以圆的方程就是（x－1）^2+(y-3)^2=9
或者（x+1）^2+(y+3)^2=9

Answer 3

设圆心坐标为(m, n)，因为圆心在直线3x-y=0上，所以n=3m，
因为该圆与x轴相切，所以半径等于|n|=|3m|，
所以可设该圆方程为(x-m)²+(y-3m)²=9m²，
把它和直线方程x-y=0联立，
解得两个交点的坐标分别为((4-√14)m/2,(4-√14)m/2)和((4+√14)m/2,(4+√14)m/2)，
两交点的距离也就是截得的弦长为2√7m，
已知弦长等于2√7，所以m=1，
所以圆的方程为：(x-1)²+(y-3)²=9