Question

正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．

正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．求证：①△ABG≌△AFG；②BG=GC．

Answer 1

证明：（1）∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴△ADE≌△AFE，
∴AD=AF，∠D=∠AFE=90°，
又∵ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=∠D=90°，
在△ABG和△AFG中，

AG＝AG AB＝AF

，
∴△ABG≌△AFG（HL）；

（2）设BG=x，
∵正方形ABCD中，AB=6，
∴AB=BC=CD=6，
∴CG=6-x，
又∵CD=3DE，
∴CG=2，CE=4，
又∵△ADE≌△AFE，
∴EF=DE=2，
又∵△ABG≌△AFG，
∴BG=GF=x，
∴EG=2+x，
∴在Rt△GCE中，GE²=GC²+EC²，
（2+x）²=（6-x）²+4²，
∴x=3，
∴BG=3，CG=3，
∴G为BC中点．