Question

在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的

在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.

Answer 1

（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析， .

试题分析：（1）当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，点P的关联图形是正方形AOPC+梯形OPDB，据此求解. （2）证明OC⊥CD，作出判断. （3）连接CD，因为梯形ACDB的面积为定值，故要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，则连接OC交半圆O于点P，应用三角形三边关系可证明点P为所确定的点的位置，从而由点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积求得点P的关联图形的最大面积. 试题解析：（1）∵A(-2，0)，∴OA="2," ∵P是半圆O上的动点，P在y轴上， ∴OP="2," ∠AOP=90°. ∵AC=2，∴四边形AOPC是正方形．∴正方形的面积是4. 又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积= , ∴点P的关联图形的面积是12. （2）判断△OCD是直角三角形，证明如下： 如图，延长CP交BD于点F.则四边形ACFB为矩形， ∴CF=DF=4，∠DCF=45°，四边形AOPC是正方形， ∴∠OCP=45°. ∴∠OCD=90°．∴OC⊥CD. ∴△OCD是直角三角形. （3）连接OC交半圆O于点P，则点P为所确定的点的位置，理由如下： 如图，连接CD，梯形ACDB的面积= 为定值， 要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小， ∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小. 连接OC，设交半圆O于点P， ∵AC⊥OA，AC="OA," ∴∠AOC=45°. 过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF="DF=4," ∠DCF=45°．∴OC⊥CD,OC=2 . ∴PC在半圆外. 设在半圆O上的任意一点P′到CD的距离为P′H， 则P′H+P′O>OH>OC. ∵OC="PC+OP," ∴P′H> PC,. ∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大. ∵CD=4 ,CP=2 -2, ∴△PCD的面积= . 又∵梯形ACDB的面积= ， ∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△PCD的面积= .