Question

如图，AB是⊙O的直径，P点在AB的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠PCE=2∠BDC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）

如图，AB是⊙O的直径，P点在AB的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠PCE=2∠BDC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AE：EB=2：1，PB=6，求弦CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC， ∵∠PCE=2∠BDC， ∴∠PCE=∠COB， ∵CD⊥AB， ∴∠COE+∠OCE=90°， ∴∠OCE+∠DCP=90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线． （2）∵AE：EB=2：1， ∵CD⊥AB，OC⊥CP， ∴OC 2 =OP?OE， 设EB=x，则AE=2x，OE= x 2 ，OC= 3x 2 ， ∴（ 3x 2 ） 2 =（ 3x 2 +6 ） ? x 2 解方程得：x 1 =0（舍去），x 2 =2， ∴OE=1，OC=3， ∴CE= OC 2 - OE 2 =2 2 ， ∴CD=2CE=4 2 ．