Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x 2 +bx+c

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x 2 +bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E． （1）求抛物线的解析式．（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）y=﹣x 2 ﹣3x+4。 （2）12 （3）存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）。

试题分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。 （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S 四边形 CAEB =S △ ACE +S 梯形 OCEB ﹣S △ BCO ，可以简化计算。 （3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形。分∠BED=90°和∠EBD=90°两种情况讨论。 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（0，4）。 ∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x 2 +bx+c上， ∴ ，解得： 。 ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2 ﹣3x+4。 （2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m。 ∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°。∴△ACD为等腰直角三角形。∴CD=AC=4+m。 ∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m。∴点E坐标为（m，8+m）。 ∵点E在抛物线y=﹣x 2 ﹣3x+4上，∴8+m=﹣m 2 ﹣3m+4，解得m=﹣2。 ∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6。 ∴S 四边形 CAEB =S △ ACE +S 梯形 OCEB ﹣S △ BCO = ×2×6+ （6+4）×2﹣ ×2×4=12。 （3）设点C坐标为（m，0）（m＜0）， 则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD= OC=﹣ m，则D（m，4+m）。 ∵△ACD为等腰直角三角形，若△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形。 i）若∠BED=90°，则BE=DE， ∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m。∴CE=4+m﹣m=4。∴E（m，4）。 ∵点E在抛物线y=﹣x 2 ﹣3x+4上， ∴4=﹣m 2 ﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3。∴D（﹣3，1）。 ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣ m， 在等腰直角三角形EBD中，DE= BD=﹣2m，∴CE=4+m﹣2m=4﹣m。∴E（m，4﹣m）。 ∵点E在抛物线y=﹣x 2 ﹣3x+4上， ∴4﹣m=﹣m 2 ﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2。 ∴D（﹣2，2）。 综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）。