Question

已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+b2x+1+2是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）证明函数f（x）在R上是减函数

已知定义域为R的函数f(x)＝?2x+b2x+1+2是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）证明函数f（x）在R上是减函数．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵f（x）是奇函数，
∴f(0)＝

1?b

4

＝0?b＝1（经检验符合题设）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)＝?

2x?1

2(2x+1)

．
对?x₁，x₂∈R，当x₁＜x₂时，总有2x2? 2x1＞0，  (2x1+1)(2x2+1)＞0．
∴f(x1)?f(x2)＝?

1

2

?(

2x1?1

2x1+1

?

2x2?1

2x2+1

)＝

1

2

?

2x2?2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上是减函数．