Question

已知首项都是1的数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足bn+1=an+1bnan+3bn（Ⅰ）令Cn=anbn，求数列{cn}的通

已知首项都是1的数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足bn+1=an+1bnan+3bn（Ⅰ）令Cn=anbn，求数列{cn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且b32=4b2?b6，求数列{an}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得a_n+1b_n=a_n?b_n+1+3b_n?b_n+1，
两边同时除以b_nb_n+1，得

an+1

bn+1

＝

an

bn

+3，
又c_n=

an

bn

，∴c_n+1-c_n=3，
又c1＝

a1

b1

＝1，
∴数列{c_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴c_n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N^*．
（Ⅱ）设数列{b_n}的公比为q，q＞0，
∵b32＝4b2?b6，
∴b12q4＝4b12?q6，
整理，得q2＝

1

4

，∴q=

1

2

，又b₁=1，
∴bn＝(

1

2

)n?1，n∈N^*，
a_n=c_nb_n=(3n?2)×(

1

2

)n?1，
∴S_n=1×(

1

2

)0+4×(

1

2

)+7×(

1

2

)2+…+(3n?2)×(

1

2

)n?1，①
∴

1

2

Sn=1×

1

2

+4×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+(3n?2)×(

1

2

)n，②
①-②，得：

1

2

Sn＝1+3×

1

2

+3×(

1

2

)2+…+3×(

1

2

)n?1-（3n-2）×(

1

2

)n
=1+3[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n?1]-（3n-2）×(

1

2

)n
=1+3[1?(

1

2

)n?1]?(3n?2)×(

1

2

)n
=4-（6+3n-2）×(

1

2

)n
=4-（3n+4）×（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=8-（6n+8）×(

1

2

)n．