Question

已知数列{a n }、{b n }满足： a 1 = 1 4 ， a n + b n =1， b n+1 = b n

已知数列{a n }、{b n }满足： a 1 = 1 4 ， a n + b n =1， b n+1 = b n (1- a n )(1+ a n ) ．（Ⅰ）求b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 ；（Ⅱ）设 c n = 1 b n -1 ，求数列{c n }的通项公式；（Ⅲ）设S n =a 1 a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 4 +…+a n a n+1 ，不等式4aS n ＜b n 恒成立时，求实数的取值范围．

Answer 1

（本题14分） （Ⅰ）  S n S n+2 - S 2 n+1 =m( S n + S n+2 -2 S n+1 ) ， ∵[lg（S n -m）+lg（S n+2 -m）]=2lg（S n+1 -m）， ∴ b 2 = 4 5 ， b 3 = 5 6 ， b 4 = 6 7 ．…（4分） （Ⅱ）∵ b n+1 -1= 1 2- b n -1 ， ∴ 1 b n+1 -1 = 2- b n b n -1 =-1+ 1 b n -1 ，…（5分） ∴数列{c n }是以-4为首项，-1为公差的等差数列． ∴c n =-4+（n-1）?（-1）=-n-3．…（7分） （Ⅲ）由于 c n = 1 b n -1 =-n-3 ， 所以 b n = n+2 n+3 ， 从而 a n =1- b n = 1 n+3 ..…（8分） ∴ S n = a 1 a 2 + a 2 a 3 +…+ a n a n+1 = 1 4×5 + 1 5×6 +… 1 (n+3)(n+4) = 1 4 - 1 n+4 = n 4(n+4) ∴ 4a S n - b n = an n+4 - n+2 n+3 = (a-1) n 2 +(3a-6)n-8 (n+3)(n+4) …（10分） 由条件知（a-1）n 2 +（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件， 设f（n）=（a-1）n 2 +（3a-6）n-8， 当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立 当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立， 当a＜1时，对称轴  n=- 3 2 ? a-2 a-1 =- 3 2 (1- 1 a-1 )＜0 ， f（n）在（1，+∞）为单调递减函数． f（1）=（a-1）n 2 +（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0， ∴ a＜ 15 4 ， ∴a＜1时4aS n ＜b n 恒成立 综上知：a≤1时，4aS n ＜b n 恒成立…（14分）