Question

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，（1

如图，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，（1）试说明：△FBD≌△ACD；（2）延长BF交AC于E，且BE⊥AC，试说明：CE＝12BF；（3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵DB=DC，∠BDF=∠ADC=90°
又∵DA=DF，
∴△BFD≌△ACD；

（2）∵△BFD≌△ACD，
∴BF=AC，
又∵BF平分∠DBC，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
又∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE=

1

2

AC，
∴CE=

1

2

AC=

1

2

BF；

（3）CE，GE，BG之间的数量关系为：CE²+GE²=BG²，
连接CG．
∵BD=CD，H是BC边的中点，
∴DH是BC的中垂线，
∴BG=CG，
 在Rt△CGE中有：CG²=CE²+GE²，
∴CE²+GE²=BG²．