Question

已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1

已知定义在（0，+∞）的函数f（x），对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当0＜x＜1时，f（x）＞0．（1）证明：当x＞1时，f（x）＜0；（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；（3）如果对任意的x、y∈（0，+∞），f（x2+y2）≤f（a）+f（xy）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
所以f（1）=0，
再令y=

1

x

，
则f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0，
当x＞1时，0＜

1

x

＜1．
∵f（

1

x

）＞0．
∴f（x）=-f（

1

x

）＜0
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）
∵x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，则f（

x2

x1

）＜0，f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，
（3）f（x²+y²）≤f（a）+f（xy）恒成立，
∴f（x²+y²）≤f（axy）恒成立，
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴x²+y²≥axy，
∴0＜a≤

x2+y2

xy

=

y

x

+

x

y

≥2，当且仅当x=y取等号，
∴实数a的取值范围（0，2]