Question

阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1求证：AE=CD，AE⊥CD．证明：延长CD

阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1求证：AE=CD，AE⊥CD．证明：延长CD交AE于K在△AEB和△CDB中∵∠ABE＝∠CBD＝90°AB＝BCBE＝DB∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE=CD∠EAB=∠DCB∵∠DCB+∠CDB=90°∠ADK=∠CDB∴∠ADK+∠DAK=90°∴∠ADK=90°∴AE⊥CD（2）类比：若关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．将（1）中的Rt△DBE绕点逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量；（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（2）AE=CD，AE⊥CD，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，

AB＝BC ∠ABE＝∠DBC BE＝BD

∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KOA+∠KAO=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD；

（3）AE=

1

k

CD，AE⊥CD，
∵BC=kAB，DB=kEB，
∴

AB

BC

=

BE

BD

=

1

k

，
∴

BE

AB

=

BD

BC

，
∵∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△AEB∽△CDB，
∴

AE

CD

=

AB

BC

=

1

k

，∠EAB=∠DCB，
∴AE=

1

k

CD，
∵k＞1，
∴AE≠CD，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，
∴∠KAO+∠AOK=90°，
∴∠AKC=90°，
∴AE⊥CD．