Question

已知函数f（x）=alnx，g（x）=-x2+（a+2）x+1．（1）若直线y=2x与曲线y=f（x）相切，求实数a的值；（2）

已知函数f（x）=alnx，g（x）=-x2+（a+2）x+1．（1）若直线y=2x与曲线y=f（x）相切，求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对一切实数x∈[1，e]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）设切点为（x₀，y₀），
∵f（x）=alnx，∴f′（x）=

a

x

，
∴切线方程为y-alnx₀=

a

x0

（x-x₀）．                …2分
∵切线y=2x过原点，∴-alnx₀=-a．
则x₀=e，y₀=2e．即切点为（e，2e）．               …4分
代入y=f（x），得a=2e．              …6分
（2）f（x）≥g（x），即alnx≥-x²+（a+2）x+1．
也即a（x-lnx）≤x²-2x-1，此式对一切实数x∈[1，e]恒成立．
设h（x）=x-lnx，∵h′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

＞0在x∈[1，e]恒成立．
∴h（x）=x-lnx在[1，e]上是增函数，h（x）≥h（1）=1．   …8分
∴a ≤ 

x2?2x?1

x?lnx

，此式对一切实数x∈[1，e]恒成立．   …10分
设u(x)＝

x2?2x?1

x?lnx

，
则u′(x)＝

(2x?2)(x?lnx)?(x2?2x?1)(1? 1 x )

(x?lnx)2

=

(x?1)(x2?2xlnx+2x+1)

x(x?lnx)2

．   …13分
当x∈（1，e）时，-2xlnx+2x=2x（1-lnx）＞0．则u'（x）＞0．
而u（x）在[1，e]是图象不间断，∴u（x）的最小值为u（1）=-2．
∴a≤-2．                                      …16分．