Question

已知函数f(x)＝mx+n1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)＝25（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f

已知函数f(x)＝mx+n1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)＝25（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数（3）解关于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即

m(?x)+n

1+(?x)2

＝?

mx+n

1+x2

，
∴n=0，
∵f(

1

2

)＝

2

5

，
∴m=1
（2）由（1）得f(x)＝

x

1+x2

，
设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)?f(x2)＝

x1

1+ x 2 1

?

x2

1+ x 2 2

＝

x1(1+ x 2 2 )?x2(1+ x 2 1 )

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1?x2)(1?x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即 f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴由f（t-1）+f（t）＜0，
得：f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∵f（x）在（-1，1）上为增函数
∴

?1＜t＜1 ?1＜1?t＜1 t＜1?t

，
解得 0＜t＜

1

2

．