设已知一阶非齐次微分方程的两个不同的解y1和y2,求该方程的通解. 不胜感激
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一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)有两个线性无关的解y1,y2，
所以αy1，βy2分别是αy1'+αp(x)y1=αq(x)，βy2'+βp(x)y2=βq(x)的解。
而αy1+βy2也是方程y'+p(x)y=q(x)的解，代入得
(αy1+βy2)'+p(x)(αy1+βy2)=q(x),展开得
[αy1'+αp(x)y1]+[βy2'+βp(x)y2]=αq(x)+βq(x)=(α+β)q(x)=q(x)
故α+β=1.
所以αy1，βy2分别是αy1'+αp(x)y1=αq(x)，βy2'+βp(x)y2=βq(x)的解。
而αy1+βy2也是方程y'+p(x)y=q(x)的解，代入得
(αy1+βy2)'+p(x)(αy1+βy2)=q(x),展开得
[αy1'+αp(x)y1]+[βy2'+βp(x)y2]=αq(x)+βq(x)=(α+β)q(x)=q(x)
故α+β=1.
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