Question

左右极限存在且相等是极限存在的充要条件是什么？

Answer 1

对的，函数的左右极限存在且相等是函数极限存在的充要条件，正推反推都是对的。实心处只有左极限或者右极限，但是有极限要求在有极限那一点要连续才能说有极限，不相等可以分别说有左极限或者右极限，但就是不能说那一点有极限。

|证明

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立

左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，f(x)-A<ε

右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，A-f(x)<ε

所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时

-εx0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等

扩展资料：

因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

参考资料来源：百度百科-极限