Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明见解析； （2）四边形ADCF是菱形，证明见解析．

试题分析：（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案； （2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可． （1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ∴AE=DE，BD=CD， 在△AFE和△DBE中：  ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF=BD， ∴AF=DC． （2）四边形ADCF是菱形， 证明：AF∥BC，AF=DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线， ∴AD= BC=DC， ∴平行四边形ADCF是菱形．