Question

已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间 [

已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间 [ π 8 ， 3π 4 ] 上的最小值与最大值．（3）将函数y=f（x）的图象按向量 d 平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 d ．

Answer 1

（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos 2 x-2cosxsinx+1= cos2x-sin2x+2=2+ 2 sin(2x+ 3π 4 ) ．（2分） 因此，函数f（x）的最小正周期为π．（4分） （2）因为 f(x)=2+ 2 sin(2x+ 3π 4 ) 在区间 [ π 8 ， 3π 8 ] 上是减函数，在区间 [ 3π 8 ， 3π 4 ] 上是增函数， 又 f( π 8 )=2，f( 3π 8 )=2- 2 ，f( 3π 4 )=3 ．（8分） 所以，函数f（x）在区间 [ π 8 ， 3π 4 ] 上的最大值为3，最小值为 2- 2 ．（10分） （3）设平移后的图象的函数解析式为y=g（x），因为g（x）的图象关于原点成中心对称，所以 g(x)= 2 sin(2x+kπ)(k∈Z) ，所以 d =(- kπ 2 + 3π 8 ，-2) ，（12分） 为使 d 的模最小，则取k=1，此时 d = (- π 8 ，-2) ．（14分）