Question

已知函数 f(x)=x+ m x ，且此函数图象过点（1，5）．（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；

已知函数 f(x)=x+ m x ，且此函数图象过点（1，5）．（1）求实数m的值并判断f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，2）上的单调性，并用定义证明你的结论．（3）解关于实数x的不等式 f( 2- 2 x )＜5 ．

Answer 1

（1）把（1，5）代入函数f（x）得f（1）=1+m=5，解得m=4 ∴ f(x)=x+ 4 x ∵ f(-x)=-x+ 4 -x =-f（x） ∴f（x）是奇函数； （2）函数在（0，2）上单调减，证明如下： 取0＜x 1 ＜x 2 ＜2，则f（x 2 ）-f（x 1 ）=（x 2 + 4 x 2 ）-（x 1 + 4 x 1 ）=（x 2 -x 1 ）+4（ 1 x 2 - 1 x 1 ）=（x 2 -x 1 ）（1- 4 x 1 x 2 ） 因为0＜x 1 ＜x 2 ＜2，所以x 1 x 2 ＜4，∴1- 4 x 1 x 2 ＜0，x 2 -x 1 ＞0，所以f（x 2 ）-f（x 1 ）＜0 ∴f（x 1 ）＞f（x 2 ） ∴函数在（0，2）上单调减 （3）不等式 f( 2- 2 x )＜5 ，等价于 f( 2- 2 x )＜ f（1），由（2）知 2- 2 x ＞1 ∴2-2 x ＞1 ∴2 x ＜1 ∴x＜0 ∴不等式的解集为（-∞，0）