Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，满足S n =2-a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足b

设数列{a n }的前n项和为S n ，满足S n =2-a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足b n =λa n -a n 2 ，若n≥5时，b n+1 ＜b n 恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵n=1时，a 1 +S 1 =a 1 +a 1 =2，∴a 1 =1， ∵S n =2-a n ，即a n +S n =2，∴a n+1 +S n+1 =2，两式相减：a n+1 -a n +a n+1 =0， 故有2a n+1 =a n ，∵a n ≠0，∴ a n+1 a n = 1 2 ，n∈ N + 所以，数列{a n }为首项a1=1，公比为 1 2 的等比数列， ∴ a n = ( 1 2 ) n-1 （2）b n =λa n -a n 2 = λ? ( 1 2 ) n-1 - ( 1 4 ) n-1 b n+1 -b n = -λ? ( 1 2 ) n +3? ( 1 4 ) n ∵b n+1 ＜b n ，∴ λ＞3? ( 1 2 ) n ∵n≥5时，b n+1 ＜b n 恒成立， ∴ λ＞3? ( 1 2 ) 5 ，∴ λ＞ 3 32 ∴实数λ的取值范围是 ( 3 32 ，+∞)