(2014?洛阳一模)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=2AB.
(2014?洛阳一模)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=2AB.(1)证明:PC⊥AB;(2)求二面...
(2014?洛阳一模)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=2AB.(1)证明:PC⊥AB;(2)求二面角B-PC-D的余弦值.
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(1)证明:连结AC,设AB的中点为O.连结PO,CO,
∵PA=PB,O是AB的中点,∴PO⊥AB,
∴四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴CO⊥AB,
∴AB⊥平面POC,
∵PC?平面POC,∴AB⊥PC.
(2)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,
PO⊥AB,PO?平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD,
建立如图的空间直角坐标系O-xyz,
设AB=2,由(1)得PA=PB=4,PO=
,OC=
,
∴P(0,0,
),B(1,0,0),C(0,
,0),D(-2,
,0),
∴
=(?1,
,0),
=(?2,0,0),
∵PA=PB,O是AB的中点,∴PO⊥AB,
∴四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴CO⊥AB,
∴AB⊥平面POC,
∵PC?平面POC,∴AB⊥PC.
(2)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,
PO⊥AB,PO?平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD,
建立如图的空间直角坐标系O-xyz,
设AB=2,由(1)得PA=PB=4,PO=
15 |
3 |
∴P(0,0,
15 |
3 |
3 |
∴
BC |
3 |
CD |
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