Question

本小题满分14分） 如图,已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，设AB、PB、PC的中点分别为D、E、F，若过D、E

本小题满分14分） 如图,已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，设AB、PB、PC的中点分别为D、E、F，若过D、E、F的平面与AC交于点G．（Ⅰ）求证点G是线段AC的中点；（Ⅱ）判断四边形DEFG的形状，并加以证明；（Ⅲ）若PA=8，AB=8，BC=6，AC=10，求几何体BC-DEFG的体积．

Answer 1

DEFG为矩形,

解：（Ⅰ）∵ED∥PA，则PA∥平面DEFG，而PA 平面APC， 平面DEFG 平面APC=FG，∴PA∥FG， 又F为PC的中点，因此G为AC的中点；……………………4分  （Ⅱ）∵点E、D分别AB、PB中点，则∴ED∥PA，且ED PA， 同理FG∥PA，且FG PA，∴ED∥FG，且ED=FG， ∴DEFG为平行四边形，由于PA⊥平面ABC，而 ED∥PA， ∴ED⊥平面ABC，∴ED⊥DG，因此DEFG为矩形.………………9分  （Ⅲ）取PA的中点K，连结KE、KF，则多面体PA—DEFG分成 三棱锥P—KEF和三棱柱KEF—ADG，则多面体PA—DEFG的体积为 ； 多面体BC—DEFG的体积为 = ；………………… 14分