Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点P（1， ），（1）求C的标准方程；（2）直线l与C

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点P（1， ），（1）求C的标准方程；（2）直线l与C交于A、B两点，M为AB中点，且AB=2MP，请问直线l是否经过某个定点，如果经过定点，求出点的坐标；如果不过定点，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由 ， 设C的标准方程为 带入（1， ）， 解得C的方程为 ； （2）若l斜率存在，设AB坐标 ， l的方程为y=kx+b代入椭圆方程整理得： ， 则 ， 由AB=2MP得AP⊥PB，即 ， 则 ， 即 ， 而 ， 代入化简得 ， 或 ， 若 ，则过定点 ，不合题意，舍去； 若 ，则过定点 ； 若l斜率不存在，同样可以验证通过 ； 综上所述，l通过定点，此点坐标为 。