Question

（1997?昆明）已知：如图，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延长线交MN于

（1997?昆明）已知：如图，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延长线交MN于点P．求证：AC2=AE?AP．

Answer 1

解：连接EC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵AD⊥MN于D，
∴BE∥MN，
∴∠ABE=∠APC，
又∵∠ACE=∠ABE，
∴∠ACE=∠APC．
∵BE∥MN，
∴∠ECD=∠BEC=∠PAC，
∵直线MN切⊙O于点C，
∴∠ECD=∠EAC，
∴∠EAC=∠PAC
∴△AEC∽△ACP，
∴

AE

AC

=

AC

AP

，
∴AC²=AE?AP．