(2006?宣武区一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F.(Ⅰ)
(2006?宣武区一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F.(Ⅰ)指出F在A1D1上的位置,并证明;(Ⅱ)求...
(2006?宣武区一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F.(Ⅰ)指出F在A1D1上的位置,并证明;(Ⅱ)求直线A1C与B1F所成角的余弦值;(Ⅲ)设P为面BCC1B1上的动点,且AP=2,试指出动点P的轨迹,并求出其轨迹所表示的曲线的长度.
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(I)F为A1D1的中点,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,面ABCD∥面A1B1C1D1
而面B1EDF∩面ABCD=DE,面B1EDF∩面A1B1C1D1=B1F
∴B1F∥DE,
同理可得B1E∥DF,从而得到四边形DEB1F为平行四边形
∴B1F=DE,
又∵A1B1=CD,可得Rt△A1B1F≌Rt△CDE
∴A1F=CE=
BC=
A1D1,得F为A1D1的中点…(5分)
(II)过点C作CH∥DE,交AD的延长线于H,连结A1H,
则A1C与B1F所成的角就等于A1C与CH所成的锐角.
∵Rt△A1CH中,A1C=
,CH=
,A1H=
=
∴cos∠A1CH=
=
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,面ABCD∥面A1B1C1D1
而面B1EDF∩面ABCD=DE,面B1EDF∩面A1B1C1D1=B1F
∴B1F∥DE,
同理可得B1E∥DF,从而得到四边形DEB1F为平行四边形
∴B1F=DE,
又∵A1B1=CD,可得Rt△A1B1F≌Rt△CDE
∴A1F=CE=
1 |
2 |
1 |
2 |
(II)过点C作CH∥DE,交AD的延长线于H,连结A1H,
则A1C与B1F所成的角就等于A1C与CH所成的锐角.
∵Rt△A1CH中,A1C=
3 |
| ||
2 |
A1C2+CH2 |
| ||
2 |
∴cos∠A1CH=
A1C2+CH2?A1H2 |
2?A1C?CH |
3+
| ||||
2?
|