(2006?宣武区一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F.(Ⅰ)

(2006?宣武区一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F.(Ⅰ)指出F在A1D1上的位置,并证明;(Ⅱ)求... (2006?宣武区一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F.(Ⅰ)指出F在A1D1上的位置,并证明;(Ⅱ)求直线A1C与B1F所成角的余弦值;(Ⅲ)设P为面BCC1B1上的动点,且AP=2,试指出动点P的轨迹,并求出其轨迹所表示的曲线的长度. 展开
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元宵客家香5097
2015-01-18 · TA获得超过194个赞
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(I)F为A1D1的中点,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,面ABCD∥面A1B1C1D1
而面B1EDF∩面ABCD=DE,面B1EDF∩面A1B1C1D1=B1F
∴B1F∥DE,
同理可得B1E∥DF,从而得到四边形DEB1F为平行四边形
∴B1F=DE,
又∵A1B1=CD,可得Rt△A1B1F≌Rt△CDE
A1F=CE=
1
2
BC=
1
2
A1D1
,得F为A1D1的中点…(5分)
(II)过点C作CH∥DE,交AD的延长线于H,连结A1H,
则A1C与B1F所成的角就等于A1C与CH所成的锐角.
∵Rt△A1CH中,A1C=
3
,CH=
5
2
A1H=
A1C2+CH2
13
2

cos∠A1CH=
A1C2+CH2?A1H2
2?A1C?CH
3+
5
4
?
13
4
2?
3
?
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