Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ） 若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．（Ⅰ） 若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率是1，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[m2+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)＝

a(1?x)

x

(x＞0)，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
（Ⅱ） f′(2)＝?

a

2

＝1得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴g(x)＝x3+(

m

2

+2)x2?2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

，∴?

37

3

＜m＜?9．
∴当m∈（-

37

3

，-9）内取值时对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值．