Question

已知数列{an}满足a1=1，a1+a2+…+an-1-an=-1（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn

已知数列{an}满足a1=1，a1+a2+…+an-1-an=-1（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设bn=an+1(an+1)(an+1+1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由题a₁+a₂+…+a_n-1-a_n=-1…①
∴a₁+a₂+…+a_n-a_n+1=-1…②
由①-②得：a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=2(n≥2)…（3分）
当n=2时，a₁-a₂=-1，
∵a₁=1，
∴a₂=2，

a2

a1

=2
所以，数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列
故an=2n-1（n∈N^*）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）an=2n-1（n∈N^*）
所以bn=

an+1

(an+1)(an+1+1)

=

2n

(2n-1+1)(2n+1)

=2(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)…（9分）
所以Tn=b1+b2+…+bn=2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)]
=2(

1

2

-

1

2n+1

)=

2n-1

2n+1

…（12分）