Question

高中数学函数题f（x），恒有f（-x）+f（x）=x^2成立。且在（-无穷，0]递增。若f（2-a）-f（a）≥2-2a

f（x），恒有f（-x）+f（x）=x^2成立。且在（-无穷，0]递增。若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则a范围？

设g（x）=f（x）-x ，移向化简得：g（2-a）≥g（a），且g（x）+g（-x）=x^2 然后

Answer 1

设h(x)=f(x)-x^2/2,h(-x)+h(x)=f(-x)-x^2/2+f(x)-x^2/2=0,所以h(x)是奇函数。
x<=0时，h'(x)=f'(x)-x>=0,故h(x)在（-无穷，0】递增，又h(x)是奇函数，所以h(x)在R上递增。
f(2-a)-f(a)>=2-2a,等价于f(2-a)-(2-a)^2/2>=f(a)-a^2/2,即h(2-a)>=h(a),2-a>=a,求得a<=1

追问

非常感谢，可是为什么您会想到用导数呢，我做题总是没思路，像看到这题就只能想到移项然后就弄不出来了

追答

f(x)的单调性没用上，与单调性很相关的就是导数；或者构造好h(x)后不用导数改用定义判断单调性也可以