Question

开集有边界点吗？ 无界集有边界点吗？如{(x,y)|y>x^2}

开集有边界点吗？
无界集有边界点吗？如{(x,y)|y>x^2}

Answer 1

如下：

1）开集可以有边界点，但开集一定不含边界点。这是因为，开集定义为所有点都是内点的集合，所以开集一定不含边界点。如开区间 (0,1) 是开集，有边界点 0 和 1，但不含于 (0,1) 中。

2）无界集可以没有边界点也可以有边界点。如无穷区间 (-∞,+∞) 就没有边界点，而无穷区间 [0,+∞) 就含有边界点 0。

简介

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。

一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

Answer 2

开集有边界点，只不过开集的边界点不是它的内点，也就是说开集的边界点不属于这个开集。

如图，A集合是开集的条件就是，A边界上任意一点B不属于A，但是B的一个邻域内一定有A的内点，也就是一定存在点属于A。

无界集（0，∞）有边界就是0，但是（-∞，+∞）就没有了，所以要具体情况具体分析。

Answer 3

开集和无界集都可能有边界点。
首先要注意根据维基百科上的定义，一个集合的边界点（boundary point）为这个集合的边界（boundary）的元素，而一个集合的边界指其闭包（closure）与其内部（interior）的差集。从定义来看，一个集合的边界点不一定属于这个集合！
以题中举的{(x,y)|y>x²}为例，这既是一个开集又是一个无界集，但y=x²上的任何一点都是这个集合的边界点，尽管它们不属于原集合。

Answer 4

　　1）开集可以有边界点，但开集一定不含边界点。这是因为，开集定义为所有点都是内点的集合，所以开集一定不含边界点。如开区间 (0,1) 是开集，有边界点 0 和 1，但不含于 (0,1) 中。
　　2）无界集可以没有边界点也可以有边界点。如无穷区间 (-∞,+∞) 就没有边界点，而无穷区间 [0,+∞) 就含有边界点 0。

Answer 5

有的，只是开集不包括边界点，闭集包括边界点。

追问

书上怎么说开集的点都是内点

追答

我觉得不矛盾。。开集有边界点，但它本身并不包括边界点。