Question

设连续型随机变量X的概率密度函数为

f（x）=3x^2,0<=x<=1,f(x)=0,其他。(1)求P{X＜1/2} (2)求分布函数F(x)

Answer 1

一、对概率密度函数积分就可以得到分布函数，

当x<0时，

f(x)=1/2*e^x

故分布函数

F(x)

=∫(上限度x，下限-∞) 1/2 *e^x dx

=1/2 *e^x [代入上限x，下限-∞]

=1/2 *e^x

当x>=0时，

f(x)=1/2*e^(-x)

故分布函数

F(x)

=F(0)+ ∫(上限x，下限0) 1/2 *e^(-x) dx

=F(0) - 1/2 *e^(-x) [代入上限x，下限0]

=F(0) - 1/2 *e^(-x) +1/2

而F(0)=1/2

故F(x)=1 -1/2 *e^(-x)

所以

F(x)= 1 -1/2 *e^(-x) x>=0

1/2 *e^x x<0

二、例如：

(1) f(x)是偶函数, 则, xf(x)是奇函数. 所以 E{X} = ∫zhidao[-∞,∞] xf(x)dx = 0

x(|专x|)f(x)也是奇函数.

X与|X|的协方差 = E{X(|X|)}-E{X}E(|X|) = E{X(|X|)}-(0)E{|X|}

=∫[-∞,∞] x(|x|)f(x)dx = 0

X与|x|不相关

(2) 但X与|X|不独立.一个例子就够. 当 X=1是, |X|一属定也等于1。

扩展资料：

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。

参考资料来源：百度百科-概率密度函数

Answer 2

(1)P(x<1)=从负无穷到1积分f(x)=
=从0到1积分（3x^2)=1.
(2)F(x)=负无穷到x积分f(x)
x<=0, F(x)=负无穷到x积分f(x)=
=负无穷到x积分(0)=0;
0<x<=1, F(x)=负无穷到x积分f(x)
=负无穷到0积分（0）+
+0到x积分（3x^2)=x^3;
X>1, F(x)=负无穷到x积分f(x)
=负无穷到0积分（0）+
+0到1积分（3x^2)+
+1到x积分（0）= 1。
即：x<=0. F(x)=0;
0<x<=1. F(x)= x^3;
X>1. F(x)= 1.

追问

第一题是算P{X＜0.5}
P{X＜0.5}=∫3x^2dx（上限是0.5，下限是-∞）接下来代进去 得0.5^3-(-∞)^3？

追答

P(x<0.5)=从0到0.5积分（3x^2)=1/8=0.125.